[백년지계]고등수학 필수공식문제 표본분산에서 n대신 n -1로 나누는 이유

[백년지계]고등수학 필수공식문제 표본분산에서 n대신 n -1로 나누는 이유 QR코드 제공

 

1. 고등수학

2. 필수공식문제

3. QR코드 제공

 

[동영상강의]

https://youtu.be/u4nCtvHe0hA

고등수학-필수공식문제-표본분산에서 n대신 n-1로 나누는 이유.pdf

0.08MB

표본분산에서 n대신 n-1로 나누는 이유

 

모집단에서 임의추출한 크기가 $n$인 표본을 $X_1, X_2, X_3, \cdots, X_n$이라 할 때,

표본평균 : $\overline{X}$, 표본분산 : $S^2$, 표본표준편차: $S$ 

$\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 

$S^2 = \frac{1}{n-1}\{ (X_1 - \overline{X})^2+(X_2 - \overline{X})^2 +\cdots +(X_n - \overline{X})^2 \}$ 

$S=\sqrt{S^2}$ 



 $\frac{1}{n-1}$을 제외하고

$E( (X_1 - \overline{X})^2+(X_2 - \overline{X})^2 +\cdots +(X_n - \overline{X})^2)$ 으로 해서 표본분산의 기댓값을 구해봅시다.
$$E( (X_1 - \overline{X})^2+(X_2 - \overline{X})^2 +\cdots +(X_n - \overline{X})^2)  \\ =E(\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2)\\ =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -2\overline{X}\sum_{i=1}^{n}X_i +\sum_{i=1}^{n}\overline{X}^2)\\ =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -2\overline{X}\cdot n\overline{X} +n\overline{X}^2) (\because \sum_{i=1}^{n}X_i=n\overline{X})\\ =E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -n\overline{X}^2 )\\ =nE(X^2) - nE(\overline{X^2})\\ (\because E(X_1^2)=E(X^2),E(X_2^2)=E(X^2),\cdots) \\ =n \cdot (E(X)+V(X)) - n\cdot(E(\overline{X}) +V(\overline{X}))\\ =n \cdot (E(X)+V(X)) - n\cdot(E(X) +V(\overline{X}))\\ =n \cdot (V(X)) - n\cdot(V(\overline{X}))\\ =n \cdot (V(X)) - n\cdot(\frac{V(X)}{n})\\ =(n-1)V(X)$$
표본분산의 평균$E(S^2)$이 모분산 $V(X)$ 같게 하기 위해 또는 차이를 줄이기 위해 $(n-1)$로 나누는 것입니다.